دنباله فيبوناچي و عدد طلايي

حاصل بسط تقسیم یک بر ۸۹ به شکلی جالب دنباله فیبوناچی است

به بهانه روز فیبوناچی؛ با این دنباله طلایی از اعداد بیشتر آشنا شوید

دنباله فیبوناچی یکی از جذابترین مفاهیم دنیای ریاضی است که نمود آن در طبیعت، هنر، معماری و حتی موسیقی هم دیده می شود. دیروز مصادف با ۲۳ نوامبر به عنوان روز فیبوناچی نامگذاری شده است. .

در دیجیاتو ثبت‌نام کنید

جهت بهره‌مندی و دسترسی به امکانات ویژه و بخش‌های مختلف در دیجیاتو عضو ویژه دیجیاتو شوید.

تازه‌های تکنولوژی

دنباله فیبوناچی یکی از جذابترین مفاهیم دنیای ریاضی است که نمود آن در طبیعت، هنر، معماری و حتی موسیقی هم دیده می شود.

دیروز مصادف با ۲۳ نوامبر به عنوان روز فیبوناچی نامگذاری شده است. این ریاضیدان بزرگ دستاوردهای بسیاری را به یادگار گذاشته که یکی از مهمترین آنها دنباله فیبوناچی است. این دنباله برابر تابع Fn است که در آن n عضوی از مجموعه اعداد حسابی <. ،۳ ،۲ ،۱ ،۰>است. در این دنباله اگر n=۰ باشد حاصل ۰، اگر n=۱ باشد حاصل ۱ و اگر عدد بزرگتر ۱ باشد، خروجی حاصل جمع دو عدد قبلی است:

دنباله فیبوناچی با همین ترتیب تا بی نهایت میل می کند اما هرچه در آن به سمت جلو می رویم حاصل تقسیم جمله n به n-1 به نسبت طلایی نزدیکتر می شود. نسبت طلایی که لوکا پاچیولی (پدر حسابداری دنیا) پنج قرن قبل از آن با عنوان نسبت الهی هم یاد کرده، زمانی به دست می آید که اگر بخش طولانی یک پاره خط (a) را بر بخش کوتاه‌تر (b) تقسیم کنیم، حاصل ۱.۶۱۸ شود. این نسبت در جای جای طبیعت از چشم انسان گرفته تا کندوی زنبورها و اهرام ثلاثه مصر به چشم می خورد.

حاصل بسط تقسیم یک بر ۸۹ به شکلی جالب دنباله فیبوناچی است

یکی از مفاهیم جالب مبتنی بر نسبت طلایی، اسپیرال یا مارپیچ طلایی است. در تصویر زیر به جای هریک از اعداد فیبوناچی یک مربع با ضلعی به اندازه همان عدد قرار داده شده است. در هر مربع هم یک چهارم دایره ای با شعاع ضلع آن ترسیم شده است. همانطور که می بینید حاصل مارپیچی زیبا موسوم به اسپیرال طلایی است که جهان اطراف ما از کهکشان ها گرفته تا گل ها، موجودات زنده و نقاشی مونالیزای داوینچی از آن پیروی می کنند.

هر آنچه از علم میخواهید .

اگر لذت کشف عمیق جهان را بفهمی،اولین گزینه تو فیزیک خواهد بود. آلبرت اینشتین _physic.dxd.ir

دنباله فیبوناچی (قسمت دوم)

به‌طور خلاصه با در نظر گرفتن تقاطع‌هايي كه خطوط با زاويه قائمه يكديگر را قطع كرده‌اند ، ميتوان مستطيل و مارپيچ طلايي فيبوناچي را در رسم توسعه يافته ستاره داوود رسم نمود . همانطور كه مشخص است اختلاف بسيار جزيي اين رسم با رسم قبلي مشاهده ميشود آنهم در كمانهاي 5 ، 6 ، 7 به علت تغيير جزيي در قطرهاي آبي رنگ و در تناسبات هندسي اختلافي وجود ندارد ، كه دال بر اين موضوع است كه تناسب طلايي در رسم ستاره داوود توسعه يافته جاري مي‌باشد و در مباحث بعدي توضيح خواهيم داد كه كليه موجوداتي كه در آنها تناسبات طلايي ديده ميشود ، تناسب خود را مديون اين ترسيم‌ها و ساختارهاي هندسي در ستاره داوود توسعه يافته هستند .

در رسم فوق مستطيل و مارپيچ طلايي به مركز رسم ستاره داوود توسعه يافته انتقال داده شده است .

در رسم فوق مستطيل و مارپيچ طلايي به نقطه ديگري انتقال داده شده است .

اينك اگر در اين دنباله ( 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 ) هر عدد را به عدد قبلي‌اش تقسيم كنيم يك چنين سري را بدست مي‌آوريم :

1/1=1 ، 2/1=2 ، 3/2=1.5 ، 5/3=1.66. ، 8/5=1.6 ، 13/8=1.625 ، . ، 233/144=1.61805.

كه هر چقدر جلوتر برويم به‌نظر مي‌آيد كه به يك عدد مخصوص مي‌رسيم . اين عدد را عدد طلايي مي‌نامند كه اين عدد تقريبا برابر است با :

روش جبري براي بدست آوردن عدد طلايي :

مستطيلي به عرض 1 واحد و طول دنباله فيبوناچي و عدد طلايي x را در نظر مي‌گيريم مسلما x بزرگتر از 1 مي‌باشد .

اينك بايد مقدار x را چنان تعيين كنيم ( بدست آوريم ) كه اگر مربعي به ضلع 1 واحد را از اين مستطيل جدا نماييم ، مستطيل بدست آمده كوچكتر ، متناسب مستطيل بزرگتر قبلي باشد ، يعني x/1=1/(x-1) a به بيان ساده‌تر ، نسبت طول به عرض مستطيل اول برابر نسبت طول به عرض مستطيل بدست آمده ( ‌مستطيل دوم ) باشد كه با ضرب صورت در مخرج طرفين تناسب ، يك معادله درجه 2 بدست مي‌آيد يعني x²-x-1=0 و با ريشه‌يابي اين معادله به ريشه‌هاي 1.6180 و 0.6180- دست مي‌يابيم .

روشهاي هندسي براي بدست آوردن عدد طلايي :

اگر يك مثلث متساوي‌الاضلاع رسم كنيم ( مثلث بنفش ) و از مركز آن دايره‌اي رسم كنيم تا از سه راس آن مثلث عبور كند ( دايره‌ نارنجي ) و وسط دو ضلع مثلث را يافته و پاره خطي از آن دو نقطه تا محيط دايره ، رسم كنيم دو پاره خط با نسبت طلايي بدست مي‌آيد ( پاره خط زرشكي و سرخ آبي ) يعني

رسم زير روش ديگري براي رسم مستطيل طلايي ويژه و تناسبات طلايي ، و همچنين بدست آوردن عدد طلايي را نشان مي‌دهد .

جهت رسم يك مستطيل طلايي به نسبت عدد طلايي ابتدا يك مربع به ضلع يك واحد كشيده سپس طبق شكل فوق وسط ضلع پاييني اين مربع را پيدا مي‌كنيم . سپس يك قوس با شعاعي به اندازه وسط ضلع پاييني مربع تا گوشه سمت راست بالا مي‌كشيم تا طول مستطيل معلوم شود .

جالب است بدانيم كه نسبت ضلع بلندتر به ضلع كوتاه‌تر مستطيل طلايي كه نسبت طلايي ناميده مي‌شود ، در بسياري از طرح‌هاي هنري از قبيل معماري و خطاطي ظاهر مي‌شود . مطابق تحقيقات انجام شده ، نسبت طول ضلع قاعده به ارتفاع در اهرام ثلاثه مصر ، برابر نسبت طلايي است . همچنين ديوارهاي معبد پارتنون از مستطيل‌هاي طلايي ساخته شده است ! زيرا به اعتقاد سازندگان آنها ، مستطيل‌ها با نسبت‌هاي طلايي به چشم خوشايندتر هستند و اين موضوع دال بر اين واقعيت است كه اين تناسبات هندسي در ذات انسان‌ها نيز شكل گرفته‌اند !

تعريف رياضي سري اعداد يا دنباله فیبوناچی و عدد طلايي ( في Φ ) :

غیر از دو عدد اول ( 0 و 1 ) اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آیند . اولین اعداد این سری عبارتند از :

این سري از اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام گذاری شده‌ است . طبق تعريف :

مقدار عددي حد فوق به عدد في يا همان . 1.618033 مي‌رسد . اگر عدد في را بتوان دو برسانيم مثل اين است كه يك واحد به عدد في افزوده باشيم يعني Φ²=Φ+1 و اگر عدد يك را بر في تقسيم كنيم مثل اين است كه يك واحد از عدد في كم كرده باشيم يعني :

عدد في را در مبناي دوجيني ميتوان به صورت 1.75 نوشت كه مقدار واقعي ، حقيقي و درستي جهت في مي‌باشد براي اينكه :

همانطور كه مي‌دانيم عدد 233 توالي دوازدهم سري يا دنباله فيبوناچي است يعني همان تعداد خرگوش‌ها در پايان ماه دوازدهم . و بدست آمدن عدد 1.75 در مبناي دوجيني براي مقدار في بيانگر اين موضوع است كه سيستم دوجينی از بعضی جهات راحت‌تر از سيستم دهدهی است . راحتی فوق اصولا از اين حقيقت ناشی می‌شود كه تعداد مقسوم عليه‌های دوازده از تعداد مقسوم عليه‌های ده بيشتر ميباشد . دوازده بر يك ، دو ، سه ، چهار ، شش و خودش بخش‌پذير است . بنابراين بسياری از محاسبات دستی در سيستم دوجينی تا حدودی ساده‌تر از سيستم دهدهی هستند ، عدد في كه در مبنای دهدهی به صورت عددهاي كسری متناوب در می‌آيد در مبنای دوجينی چنين نيست و مي‌توان به مقدار فيكس شده 1.75 دست يافت .

ماياهايي كه در خلال سالهاي 2000 تا 900 قبل از ميلاد ، ساكن آمريكاي جنوبي بوده‌اند ، چنين به نظر مي‌رسد كه براي رصد كردن حركات متغير اجرام آسماني ، اهرامي بنا نهادند و تقويم شمسي دقيقي وضع كردند . همچنين با محاسبات خود ، وقوع خسوف و كسوف را پيش بيني و مراسم قرباني كردن انسانها را تدارك مي‌ديده‌اند و عقيده بر اين داشتند كه اين كار آنها خشم خدايان را از آنها برطرف مي‌كند .

به يقين مي‌توان گفت كه مطالب و موضوعات بسيار مهمي در علوم بشريت در زمينه رياضيات ، هندسه و نجوم مفقود و از بين رفته است و فقط نشانه‌هاي تلخ و ناخوشايندي از آن دانسته‌ها در ساخته‌هاي دست بشر باقيمانده است كه در مباحث بعدي سعي خواهيم كرد اين دانسته‌هاي از بين رفته را بازيابي نماييم . البته ما بايد مابين علم و جنايت فرق قائل شويم .

سری فیبوناچی چه در ریاضیات چه در دنباله فيبوناچي و عدد طلايي فیزيك و علوم طبیعی ، كاربردهای بسیار دیگری دارد ، ارتباط زیبای فاصله‌های خوش صدا در موسیقی ، چگونگی تولد یك كهكشان و . كه در مطالب آینده راجع به آنها بحث خواهیم كرد .

اين الگو را مي توان در گلبرگ‌ها يا دانه‌هاي بسياري از گياهان مثلاً آناناس ، گل داوودي ، گل كلم ، ميوه‌هاي كاج و . مشاهده كرد .

خود انسان از ناف به نسبت في تقسيم مي‌شود . اين نسبت نقش پيچيده‌اي در پديده‌هايي مانند ساختار كريستال‌ها ، سال‌هاي نوري فاصله بين سيارات و پريودهاي چرخش ضريب شكست نور در شيشه ، تركيب‌هاي موسيقي ، ساختار سياره‌ها و حيوانات بازي مي‌كند . علم ثابت كرده است كه اين نسبت به راستي نسبت پايه و مبناي خلقت جهان است . هنرمندان دوره رونسانس عدد في را يك نسبت الهي مي‌دانسته‌اند .

از زماني كه هنرمندان و معماران به عمد شروع به استفاده از نسبت طلايي كردند ، نشان داده شد كه مخاطبان شيفتگي و شيدايي بيشتري نسبت به كارهاي آنها از خود نشان دادند . مستطيل‌هاي طلايي ، مانند نسبت طلايي فوق‌العاده ارزشمند هستند . در بين مثال‌هاي بي‌شمار از وجود اين نسبت و يكي از برجسته‌ترين آنها مارپيچ هاي DNA است . اين دو مارپيچ فاصله دقيقي را با هم براساس نسبت طلايي حفظ مي‌كنند و دور يكديگر مي‌تابند .

در حالي كه نسبت طلايي و مستطيل طلايي جلوه‌هاي زيبايي را از طبيعت و ساخته‌هاي دست انسان به نمايش مي‌گذارد ، جلوه ديگري از اين شكوه وجود دارد كه زيبايي‌هاي تحرك را به نمايش مي‌گذارد . يكي از بزرگ‌ترين نمادهايي كه مي‌تواند رشد و حركات كاينات را نشان دهد ، اسپيرال طلايي است .

اسپيرال طلايي كه به آن اسپيرال لگاريتمي و اسپيرال متساوي‌الزاويه نيز مي‌گويند هيچ حدي ندارد و شكل ثابتي است . روي هر نقطه از اسپيرال مي توان به هر يك از دو سو تا بي‌نهايت حركت كرد . از يك سو هرگز به مركز نمي‌رسيم و از سوي خارجي نيز هرگز به انتها نمي‌رسيم . هسته اسپيرال لگاريتمي وقتي با ميكروسكوپ مشاهده مي‌شود همان منظره‌اي را دارد كه وقتي به اندازه هزاران سال نوري به جلو مي‌رويم . ديويد برگاميني در كتاب رياضياتش خاطرنشان مي‌كند كه منحني ستاره‌هاي دنباله‌دار از خورشيد كاملا شبيه به اسپيرال لگاريتمي است . عنكبوت شبكه تارهاي خود را به صورت اسپيرال لگاريتمي مي‌بافد . رشد باكتري‌ها دقيقاً براساس رشد منحني اسپيرال است . هنگامي كه سنگ‌هاي آسماني با سطح زمين برخورد مي‌كنند ، مسيري مانند اسپيرال لگاريتمي را طي مي كنند . عدد في Φ عددي مربوط به خلقت پروردگار يكتا است .

اسب‌هاي آبي ، صدف حلزون‌ها ، صدف نرم‌تنان ، موج‌هاي اقيانوس‌ها ، سرخس‌ها ، شاخ‌هاي جانوران و نحوه قرار گرفتن گلبرگ‌هاي گل آفتاب‌گردان و چيدمان گل مرواريد ، همه به صورت اسپيرال لگاريتمي است . گردباد و منظومه‌ها از نگاه بيرون كاملاً در مسيري به صورت اسپيرال حركت مي‌كنند . طرح مطالب در اين زمينه بسيار بسيار زياد است كه در آينده به آن خواهيم پرداخت .

تحلیل فیبوناچی چیست | آشنایی و معرفی نسبت های فیبوناچی

قبل از اینکه راجب چیستی تحلیل فیبوناچی صحبت کنیم بهتر است اول به این سوال پاسخ دهیم که “فیبوناچی کیست؟” لئوناردو پیسانو یا لئوناردو فیبوناچی یکی از معروف‌ترین ریاضی دانان قرون وسطی بوده که کتاب Liber Abaci (کتاب محاسبات) را در سال 1202 پس از میلاد به نگارش در آورده است. او در این کتاب در مورد مطالب مختلفی از قبیل نحوه تبدیل ارزها به یکدیگر، اندازه گیری‌های تجاری، محاسبه سود و بهره، و تعدادی از معادلات ریاضی و هندسی سخن گفته است. با این حال دو مورد از این مباحث بیش از سایر آنها در دنیای امروز مورد توجه قرار گرفته است. در این مقاله با اول پرداخت همراه باشید.

مورد اول در بخش های ابتدایی کتاب وی نگارش شده که در مورد مزیت های استفاده از سیستم اعداد عربی است. در آن زمان تاثیر امپراطوری از بین رفته روم همچنان زیاد بود و اکثر شهروندان اروپایی ترجیح می‌دادند که از اعداد رومی استفاده کنند. اما فیبوناچی در این کتاب مباحثی قدرتمند، موثر و قابل درک در مورد استفاده سیستم اعداد عربی ارائه داد. از آن زمان تا به حال این سیستم اعداد جایگاه محکمی در اروپا پیدا کرد و به سرعت در تمام دنیا گسترش یافت. این سیستم آنقدر قدرتمند بود که امروزه نیز مورد استفاده قرار می‌گیرد.

بخش دوم این کتاب که امروزه همچنان مورد استفاده قرار می‌گیرد در مورد دنباله فیبوناچی است. دنباله فیبوناچی به مجموعه‌ای از اعداد گفته می‌شود که هر عدد این مجموعه برابر است با مجموع دو عدد پیش از خودش.

حتما در خاطر دارید که در سال 2008 بحران اقتصادی شدیدی گریبان گیر بسیاری از قدرت های اقتصادی جهان شد. بیشتر بخوانید

بازار ارزهای دیجیتال پر از فراز و نشیب می باشد. پیش بینی سیر صعودی یا نزولی ارز های این بازار بیشتر بخوانید

دنباله فیبوناچی

همانطور که می‌بینید باید از دو عدد بنیادین 0 و 1 استفاده کنیم. سپس 0 را با 1 جمع می‌کنیم تا عدد بعدی این توالی را به دست آوریم که برابر با 1 می‌شود. سپس این عدد را با عدد پیشین جمع می‌کنیم تا عدد بعدی توالی را حساب کنیم. اگر این روند را ادامه دهیم الگوی زیر را مشاهده خواهیم نمود:

دنباله فیبوناچی در مبحث امروز ما اهمیت بالایی دارد، زیرا ما برای محاسبه نسبت فیبوناچی به این اعداد نیاز داریم. بدون دنباله فیبوناچی نسبت فیبوناچی هم وجود نخواهد داشت.

نسبت فیبوناچی چگونه ایجاد می شود؟

با پیدایش اینترنت اطلاعات نادرست زیادی در مورد مقادیر سازنده نسبت فیبوناچی در آن پخش شد. افزایش تحلیل فیبوناچی، به ویژه در حوزه تجارت، سبب ایجاد تعاریف نادرستی در این مورد شد. حال با هم می‌بینیم که نسبت فیبوناچی چیست، چگونه ایجاد می‌شود، و چند مثال از مواردی که نسبت فیبوناچی نیستند را هم به شما نشان خواهیم داد.

نسبت های فیبوناچی

ریاضیات به کار رفته در پشت نسبت‌های فیبوناچی نسبتا ساده هستند. تنها کاری که باید کرد این است که اعداد دنباله فیبوناچی را برگرفته و یک الگوی تقسیم را بر آنان اعمال کنیم. برای مثال یکی از اعداد دنباله را انتخاب کنید و آن را به عدد بعدی تقسیم کنید.

0 ÷ 1 = 0
1 ÷ 1 = 1
1 ÷ 2 = 0.5
2 ÷ 3 = 0.67
3 ÷ 5 = 0.6
5 ÷ 8 = 0.625
8 ÷ 13 = 0.615
13 ÷ 21 = 0.619
21 ÷ 34 = 0.618
34 ÷ 55 = 0.618
55 ÷ 89 = 0.618

الگوی شکل گرفته را مشاهده می‌کنید؟ با تقسیم 21 بر 34 و ادامه‌ی این دنباله به همین شکل شما تا ابد عدد 0.618 را به دست خواهید آورد.

این کار را می‌توان با سایر اعداد دنباله نیز انجام داد. برای مثال با انتخاب یک عدد در دنباله و تقسیم آن بر عدد پیشین یک الگوی مشابه دیگر خواهیم دید.

1 ÷ 0 = 0
1 ÷ 1 = 1
2 ÷ 1 = 2
3 ÷ 2 = 1.5
5 ÷ 3 = 1.67
8 ÷ 5 = 1.6
13 ÷ 8 = 1.625
21 ÷ 13 = 1.615
34 ÷ 21 = 1.619
55 ÷ 34 = 1.618
89 ÷ 55 = 1.618
144 ÷ 89 = 1.618

در اینجا می‌بینید که الگویی دیگر از این اعداد به وجود آمده است. حالا 1.618 به دست می‌آید که از اهمیت بالایی برخوردار است چراکه به آن نسبت طلایی، عدد طلایی، یا نسبت الهی می گویند که می‌توان چندین صفحه در مورد این مقدار توضیح داد.

در ادامه مثال‌هایی می‌بینید که با انتخاب اعداد فیبوناچی و تقسیم آنها بر الگویی از سایر اعداد این دنباله شکل گرفته‌اند.

تقسیم بر دومین عدد پسین	تقسیم بر دومین عدد پیشین	تقسیم بر سومین عدد پسین	تقسیم بر سومین عدد پیشین
0 ÷ 1 = 0	1 ÷ 0 = 0	0 ÷ 2 = 0	2 ÷ 0 = 0
1 ÷ 2 = 0.5	2 ÷ 1 = 2	1 ÷ 3 = 0.33	3 ÷ 1 = 3
1 ÷ 3 = 0.33	3 ÷ 1 = 3	1 ÷ 5 = 0.2	5 ÷ 1 = 5
2 ÷ 5 = 0.4	5 ÷ 2 = 2.5	2 ÷ 8 = 0.25	8 ÷ 2 = 4
3 ÷ 8 = 0.375	8 ÷ 3 = 2.67	3 ÷ 13 = 0.231	13 ÷ 3 = 4.33
5 ÷ 13 = 0.385	13 ÷ 5 = 2.6	5 ÷ 21 = 0.238	21 ÷ 5 = 4.2
8 ÷ 21 = 0.381	21 ÷ 8 = 2.625	8 ÷ 34 = 0.235	34 ÷ 8 = 4.25
13 ÷ 34 = 0.382	34 ÷ 13 = 2.615	13 ÷ 55 = 0.236	55 ÷ 13 = 4.231
21 ÷ 55 = 0.382	55 ÷ 21 = 2.619	21 ÷ 89 = 0.236	89 ÷ 21 = 4.231
34 ÷ 89 = 0.382	89 ÷ 34 = 2.618	34 ÷ 144 = 0.236	144 ÷ 34 = 4.235
55 ÷ 144 = 0.382	144 ÷ 55 = 2.618	55 ÷ 233 = 0.236	233 ÷ 55 = 4.236
89 ÷ 233 = 0.382	233 ÷ 89 = 2.618	89 ÷ 377 = 0.236	377 ÷ 89 = 4.236
144 ÷ 377 = 0.382	377 ÷ 144 = 2.618	144 ÷ 610 = 0.236	610 ÷ 144 = 4.236

همانطور که می‌بینید می‌توانیم اعداد متفاوتی را با استفاده از اعداد دنباله فیبوناچی به دست آوریم و یک الگوی تقسیمی در این دنباله ایجاد کنیم. با این حال این تنها روش دست یابی به نسبت های فیبوناچی نیست. پس دنباله فيبوناچي و عدد طلايي از به دست آوردن اعداد حاصل از تقسیم‌ها می‌توانیم از ریشه مجزور هر یک از آنها اعداد جدیدی به دست آوریم. در نمودار زیر چند مثال دیگر آورده شده است.

نسبت فیبوناچی	عملیات	نتایج
0.236	ریشه مجزور 0.236	0.486
0.382	ریشه مجزور 0.382	0.618
0.618	ریشه مجزور 0.618	0.786
1.618	ریشه مجزور 1.618	1.272
2.618	ریشه مجزور 2.618	1.618
4.236	ریشه مجزور 4.236	2.058

آخرین بخش نحوه ایجاد این نسبت‌های فیبوناچی تنها با تبدیل آنها به درصد دنباله فيبوناچي و عدد طلايي انجام می‌شود؛ به این شکل که مقدار پایه 0.236 به 23.6% یا مثلا 0.382 به 38.2% تبدیل می‌شود. پس با نگاهی به تحلیل‌های ما در بخش‌های دیگر معمولا می‌توانید این درصد‌ها را ببینید:

23.6% ، 38.2% ، 48.6% ، 61.8% ، 78.6% ، 127.2% ، 161.8% ، 205.8% ، 261.8% ، 423.6% , …

موضوع 50% چیست؟

اگرچه نسبت 50% اغلب در تحلیل‌های فیبوناچی به کار می‌رود، اما این میزان یک نسبت فیبوناچی نیست. بعضی‌ ها بر این باورند که سطح 50% یک نسبت “گان” به به حساب می‌آید که در اوایل قرن بیستم توسط W.D. Gann ایجاد شده است. اما برخی دیگر می‌گویند که سطح 50% برعکس «نسبت الهی» است. بسیاری از افراد با استفاده از این نسبت‌ها مقادیر جدیدی ایجاد می‌کنند. می‌تواند چند مثال از این موارد را در زیر مشاهده کرد.

نسبت الهی	عملیات	نتیجه	عکس نسبت الهی
1	ریشه مجزور 1	1	1
2	ریشه مجزور 2	1.414	0.5
3	ریشه مجزور 3	1.732	0.333
4	ریشه مجزور 4	2	2.236
5	ریشه مجزور 5	0.25	0.2

مشخص نیست منبع نسبت 50% از کجاست اما نقش مهمی در امور دنباله فيبوناچي و عدد طلايي تجاری ایفا می‌کند و به همین دلیل معمولا در تحلیل‌ها از آن با عنوان یکی از نسبت‌های فیبوناچی یاد می‌شود. از برخی دیگر از اعداد موجود در جدول نیز اشتباها به عنوان نسبت فیبوناچی یاد شده که مشخصا به این شکل نیست.

فیبوناچی در بازار های معاملاتی

یافتن پدیده شبه وار اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی در بازار نسبتا ساده است. بیشترین سطوح شناسایی شده بازگشت فیبوناچی در بازار متعلق به موارد 23.6%،38.2%، 50%، 61.80، و 100% هستند. این اعداد در دنباله فیبوناچی با نسبت‌های تقسیمی به هم مرتبط هستند. توجه داشته باشید که سطح ،61.8% که برعکس نسبت طلایی به حساب می‌آید، نیز در این میان قرار دارد.

سطوح بازگشت فیبوناچی ارائه دهنده نقاط مرجع ثابتی در مقابل میانگین های متحرک هستند. این ویژگی تریدرها را قادر می‌سازد تا با نگاهی به نمودار‌ها از احتمال تحرکات مهم قیمت آگاه شوند، یعنی هم به صورت نزولی و هم صعودی.

این سطوح همچنین برای مشخص کردن نقاطی خاص جهت آغاز خرید به تریدرها کمک می‌کنند. فروش استقراضی در یک سطح بازگشتی فیبوناچی به یک تاکتیک متداول تبدیل شده، البته در صورتی که این روش توسط روش‌های دیگر مورد تایید قرار گرفته باشد.

مهم‌ترین سطحی که همیشه باید به آن چشم داشت، نسبت طلایی بر عکس است. وقتی قیمت یک دنباله فيبوناچي و عدد طلايي ارز دیجیتال به این سطح می‌رسد می‌توان انتظار داشت که جای خریداران با فروشنده‌ها عوض شود.

البته این سطوح تنها به عنوان یک راهنما عمل می‌کنند و همیشه تاکید می‌شود که سطوح بازگشت فیبوناچی را باید با ابزار یا روش دیگری نیز تایید نمود. باید به این موضوع هم اشاره کرد که شرایط بازارها به ندرت به صورت دقیق در این سطوح تغییر می‌کند و همیشه بین ۵ الی ۱۵ درصد بالاتر یا پایین تر از این سطوح را باید به دقت مورد بررسی قرار داد.

راهنمای استفاده از فیبوناچی

یکی از نکات جالب در مورد سطوح بازگشت فیبوناچی این است که این سطوح ارائه دهنده نوعی پیشگویی ناگزیر ساز هستند. از آنجا که شهرت این سطوح بالاست و به میزان بالایی مورد استفاده قرار می‌گیرند، تریدرها می توانند الگوی خرید و فروش خود را بر اساس آنها تنظیم کنند. این امر سبب مفید بودن سطوح بازگشت فیبوناچی می‌شود. به بیانی دیگر، بازار به صورت ناخودآگاه پیرامون این شاخص ها حرکت می‌کند اما تصمیمات آگاهانه برای استفاده از آنان سبب تقویت جایگاهشان می‌شود.

هرچه میزان تردیدها در بازار بالاتر برود احتمال پیدایش سطوح بازگشت فیبوناچی هم افزایش می‌یابد. دلیل این امر هم یک کلیت گسترده است؛ در صورت کم بودن داده‌ها این سطوح کاربرد چندانی ندارند، زیرا با اطلاعات خام نا کافی الگوی خاصی پدیدار نمی‌شود. مجموعه‌ای از گیاهان را در نظر بگیرید که با دنباله فیبوناچی کنترل می شوند. شاید یکی از گیاهان با جهشی رو به رو شود و تعداد برگ‌هایش تغییر کند یا بر اثر حادثه‌ای تعداد از برگ هایش را از دست بدهد. با اعمال این مورد در کل جمیعت آن دنباله فيبوناچي و عدد طلايي گیاه دنباله فیبوناچی آشکار می‌شود.

به همین دلیل است که سطوح بازگشت فیبوناچی تنها برای ارزهای دیجیتال پر حجمی مثل بیت کوین و اتریوم کاربرد دارد و کارایی چندانی برای آلت کوین‌های در حال توسعه موجود در بازار ندارد.

محاسبه فیزیکی این سطوح زیاد هم پیچیده نیست. خطی میان قیمت بالا و پایین یک ارز دیجیتال رسم می‌شود و سپس فاصله میان بالا و پایین با نسبت هایی فیبوناچی که قبلا گفتیم تقسیم می‌شود. بسیاری از صرافی ها از این امکانات به صورت پیش فرض در وبسایت خود استفاده می‌کنند و این فرایند را برای کاربران ساده می‌کنند.

حالا که با تحلیل فیبوناچی برای ارزهای دیجیتال آشنا شدید، پیشنهاد می‌شود برای خرید و فروش ارزهای دیجیتال معتبر از مجموعه اول پرداخت استفاده نمایید. همچنین پیشنهاد می‌شود مقاله «آموزش معامله ارز دیجیتال» را هم مطالعه فرمایید. اگر هم به دنبال کیف پول‌های سخت افزاری هستید، اول پرداخت خدمات فروش کیف پول لجر (LEDGER) و کیف پول ترزور (TREZOR) را هم به مشتریان خود عرضه می‌دارد.

ریاضی زندگی است و نمودارش خط مهربانی

در هر مرحله عدد بعدی با استفاده از جمع کردن دو عدد ماقبل عدد مورد نظر بدست می آید.

• ۲ از جمع دو عدد قبل خود بدست آمده ( ۱ + ۱ )
• مشابه آن، ۳ از جمع دو عدد قبل خود بدست آمده ( ۲ + ۱ )
• و ۵ بدست می آید از ( ۳ + ۲ )
• و به همین ترتیب ادامه می یابد!

مثال: عدد بعدی در دنباله فیبوناچی بالا، برابر است با:

۲۱ + ۳۴ = ۵۵

لیست بلند تری از اعضای دنباله بالا:

۰, ۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴, ۴۱۸۱, ۶۷۶۵, ۱۰۹۴۶, ۱۷۷۱۱, ۲۸۶۵۷, ۴۶۳۶۸, ۷۵۰۲۵, ۱۲۱۳۹۳, ۱۹۶۴۱۸, ۳۱۷۸۱۱, …

آیا چند عدد دیگر را می توانید بدست بیاورید؟

این دنباله یک مارپیچ تشکیل می دهد

هنگامیکه مربع های با پهناهایی برابر اعداد دنباله تشکیل می دهیم، یک مارپیچ مرتبی بدست می آید:

مشاهده می کنید که چگونه مربع ها نزدیک هم قرار گرفته اند؟

برای مثال ۵ و ۸، ۱۳ را و ۸ و ۱۳، ۲۱ را تشکیل می دهد و …

ضابطه

می توان برای دنباله فیبوناچی “ضابطه” نوشت.

ابتدا، اعضا از صفر شماره گذاری می شوند.

پس عضو ۶ ام به نام X₆ (برابر ۸) است.

مثال: عضو هشتم برابر عضو هفتم بعلاوه عضو ششم است:

سپس می توانیم ضابطه را بنویسیم:

X_n = عضو n ام

X_n-1 = عضو قبل از n

X_n-2 = دو عضو قبل از n

مثال: عضو نهم به این شکل محاسبه می شود:

عدد طلایی

و سورپرایز اینجاست. هرچه اعضای دنباله فیبوناچی بزرگتر می شوند، نسبت هر عدد به عدد قبلی خود رفته رفته به عدد طلایی “φ” نزدیک می شود که حدودا برابر …۱٫۶۱۸۰۳۴ است.

در واقع، هرچه جفت اعداد فیبوناچی بزرگتر باشند، نسبت آنها تقریب عدد طلایی را دقیق تر می کند. بیایید چند تا را امتحان کنیم:

نکته: اگر دو عدد تصادفی را در ابتدای دنباله داشته باشیم، همانند ۱۹۲ و ۱۶، دوباره با بزرگتر شدن جملات، نسبت به عدد طلایی نزدیک و نزدیکتر می شود.

دنباله مورد نظر:

۱۹۲, ۱۶, ۲۰۸, ۲۲۴, ۴۳۲, ۶۵۶, ۱۰۸۸, ۱۷۴۴, ۲۸۳۲, ۴۵۷۶, ۷۴۰۸, ۱۱۹۸۴, ۱۹۳۹۲, ۳۱۳۷۶, …

ممکن است کمی وقت ببرد تا اعداد بهتر شوند، اما این دنباله فيبوناچي و عدد طلايي دنباله فيبوناچي و عدد طلايي نشان می دهد که فقط دنباله پیشفرض فیبوناچی نیست که می تواند این کار را انجام دهد!

استفاده از عدد طلایی برای محاسبه اعداد فیبوناچی

و مسئله تعجب آورتر این است که ما هر عدد فیبوناچی را می توانیم به طریق عدد (رابطه) طلایی بدست بیاوریم.

پاسخ همواره به شکل یک عدد صحیح در می آید، دقیقا برابر با حاصل جمع دو عضو قبلی.

اگر از ماشین حساب کمک بگیرید (هنگام وارد کردن عدد طلایی با ۶ رقم اعشار)، پاسخ ۸٫۰۰۰۰۰۰۳۳ را دریافت می کنید. محاسبه دقیقتر از این، به ۸ نزدیک تر خواهد بود.

خودتان امتحان کنید!

یک الگو

یک الگوی جالبی به نظر می آید:

• به عدد X₃ = 2 نگاه کنید. هر عدد با ۳ فاصله مضربی از ۲است ( … ,۶۱۰ ,۱۴۴ ,۳۴ ,۸ ,۲)
• به عدد X₄ = 3 نگاه کنید. هر عدد با ۴ فاصله مضربی از ۳است ( … ,۱۴۴ ,۲۱ ,۳)
• به عدد X₅ = 5 نگاه کنید. هر عدد با ۵ فاصله مضربی از ۵است ( … ,۶۱۰ ,۵۵ ,۵)

و به این ترتیب ادامه می یابد (هر عدد با n فاصله مضربی از X_nاست).

اعضای کمتر از صفر

این دنباله برای اعداد کمتر از صفر نیز صادق است، مانند:

(به خود ثابت کنید که هر عدد با اضافه کردن دو عدد قبلی بدست می آید!)

در واقع دنباله کمتر از صفر همان اعداد در دنباله بیشتر از صفر را دارد، به غیر از این که دنباله کمتر از صفر الگوی – + – + را دنبال می کنند. می توان ضابطه آن را به شکل زیر نوشت:

X_-n = (–۱) n+1 X_n

که می گوید عضو ” n– ” برابر با ۱ به توان n+1 بار عضو ” n ” است، و مقدار ۱ به توان n+1 به طور مرتب الگوی … ,۱– ,۱ ,۱– ,۱ را تشکیل می دهد.

تاریخچه

فیبوناچی اولین شخصی نبود که این دنباله را کشف کرده باشد، این دنباله صدها سال پیش در هندوستان شناخته شده بود!

عدد طلایی ​چیست؟

یکی از کلیشه‌ای‌ترین و شاید تاریخی‌ترین سوال‌های دانش‌آموزان درخصوص درس ریاضی این است که ریاضی و فرمول‌های متعدد آن در زندگی ما چه کاربردی دارد.

برای پاسخگویی به این سوال با همکاری دانش‌آموزان دبیرستان نمونه دولتی حیدری موسوی شهرستان هشترود، کارگاهی آموزشی درباره عدد 1.618 و کاربردهای آن دنباله فيبوناچي و عدد طلايي برگزار کردیم. گذشته از نحوه گروه‌بندی، اجرا و جزئیات این طرح ـ که برای نخستین بار در آموزش و پرورش کشور انجام شد ـ در این طرح که طرحی نو در آموزش ریاضی است، موضوعات مختلف و کاربردی- ریاضی درسی​که در سطح بین‌الملل نیز دارای تازگی و پویایی است ـ مورد بررسی قرار گرفت.

نسبت طلایی یا همان عدد 1.618 یکی از زیبایی‌های دنیای ریاضی است که در گوشه و کنار این دنیای بزرگ از اندام‌های بدن انسان تا آثار برجسته و مشهور هنری و معماری در سطح دنیا و حتی نحوه رشد دانه‌های گل آفتابگردان می‌توان ردپایی از آن پیدا کرد. بسیاری از کارشناسان بر این باورند ​ هر اثر هنری که در آن نسبت طلایی رعایت شده باشد، منحصر به فرد است. جالب​این که در کاغذهای استاندارد سری A نیز نسبت طول به عرض با نسبت طلایی برابر است. به همین دلیل، محققان بر این باورند​ زیباترین سطوح و اشکال آنهایی است که نسبت طلایی در آنها به کار رفته باشد.

عدد 1.618 که به عدد یا نسبت طلایی یا نسبت فیبوناچی نیز شهرت دارد، حاصل تلاش دانشمندانی ازجمله اقلیدس، لوکاپاچیولی و لئوناردو فیبوناچی است. شما می‌توانید در حوزه‌های مختلف ردپایی از نسبت طلایی را پیدا کنید. یکی از این حوزه‌ها​ هندسه است. اگر در پاره خطی، نسبت قسمت بزرگ‌تر به کوچک‌تر برابر با نسبت کل خط به قسمت بزرگ باشد، این نسبت قطعا عدد طلایی است.

یکی دیگر از حوزه‌هایی که نشانی از نسبت طلایی در آن پیدا می‌کنید، دنباله فیبوناچی است. در این دنباله که عبارت است از 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21 و. اگر اعداد پس از 2 را در نظر بگیریم و هر کدام را به عدد ماقبل خود تقسیم کنیم، شاهد اعدادی بسیار نزدیک به عدد نسبت طلایی یا 1.618 خواهیم بود. هر چه بیشتر این تقسیم را ادامه دهید، عدد حاصل به نسبت طلایی نزدیک‌تر می‌شود.

گذشته از این در بسیاری از ساختارهای هستی می‌توانید نشانی از نسبت طلایی پیدا کنید؛ از مارپیچ‌های دی‌ان‌ای گرفته تا مارپیچ گوش انسان، حلزون، ساختار مارپیچی کهکشان‌ها و تمام زیبایی‌های طبیعت ازجمله برگ‌های درختان، خطوط و نقش و نگار روی پرهای طاووس و مارپیچ‌های آفتابگردان این نسبت رعایت شده است. این عدد در معماری باستان و معاصر ایران و جهان نیز کاربرد فراوانی داشته است. از آن جمله می‌توان به هرم جیزا در مصر، برج آزادی تهران، قلعه دالاهو در کرمانشاه، بنای بیستون کرمانشاه و مقبره ابن سینا در همدان اشاره کرد. برای مثال ابعاد بنای بیستون کرمانشاه پنج کیلومتر در سه کیلومتر ذکر شده که اعداد چهارم و پنجم دنباله فیبوناچی‌اند. با تقسیم این دو عدد​ به عدد 1.6 می‌رسیم که بسیار نزدیک به عدد طلایی است.

این عدد در بدن انسان نیز بسیار کاربرد دارد. زیبایی چهره، زیبایی خنده، تناسب اندام و خوش‌تیپی همه و همه از شاهکارهای الهی در آفرینش انسان است. اگر نگاهی به تاریخچه عدد طلایی بیندازید، می‌بینید لئوناردو داوینچی اولین نفری است که نسبت دقیق استخوان‌های انسان را اندازه‌گیری و ثابت کرد این نسبت ضریبی از عدد طلایی است. در سنجش تناسب اندام خود می‌توانید فاصله انگشتان پا تا ناف را بر فاصله ناف تا بالای سر تقسیم و حاصل را با عدد 1.618 مقایسه کنید. هر چه این عدد به 1.618 نزدیک‌تر باشد به این معنی است که شما تناسب اندام خوبی دارید. چنین نشانه‌هایی که در آنها می‌توان به نسبت طلایی رسید، در بدن انسان بسیار زیاد است.‌یکی از دیگر ویژگی‌های جالب توجه نسبت طلایی این است که اگر فاصله شهر مکه تا قطب شمال را بر فاصله این شهر تا قطب جنوب تقسیم کنیم، عددی بسیار نزدیک به عدد طلایی به دست می‌آید. بر این اساس می‌توان گفت شهر مکه در نقطه طلایی زمین قرار دارد. علاوه بر این، بررسی‌های انجام شده نشان داده است​ شهر مکه در نقطه طلایی عربستان و بنای کعبه در نقطه طلایی شهر مکه قرار دارد.